2012朝阳二模选择第8题:正方体投影面积|正方体的投影

C

（2012朝阳二模理）8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是

A.

1 B.

C.

D. C

C

解法一：立方体只有三个面oAC,oAB,oBC在底面投影有效，与底面夹角分别为1、2、3，如上图：为面oAC

与投影面（以下称为底面）的夹角，为面oAC和底面的交线与oA的夹角，建空间直角坐标系如上图：

C

①,[0,

C



2

]

C



oB (0,cos(),sin()) 即(0,sin,cos)

22



oA (cos,sincos,sinsin)



oC (cos(),cossin(),sin()sin)

222

即(sin,coscos,sincos)

C

C

C

②设底面法向量（0，0，-1），

C

C

⑴面oAC与底面成角的余弦值为cos1cos

⑵设面oAB法向量x,y,z

C



令y1

ysinzcos0sin

z解得 

xcosysincoszsinsin0cos

sinxcoscos

所以面oAB与底面成角的余弦值为

C

C

C

cos2

sin

sincos

C

⑶设面oBC法向量x,y,z

C



令y1

ysinzcos0sin

解得z 

zsincosxsinycoscos0cos

cosxcossin

所以面oBC与底面成角的余弦值为

C

C

cos3

sin

sinsin

③面oAC,oAB,oBC面积均为1，设它们在底面投影分别为S1,S2,S3则立方体在底面投影面积SS1S2S3 其中S1cos1，S2cos2，S3cos3 Scos1cos2cos3

即Scossincossinsin=cossin(cossin)=(cos,sin)(1,cos

sin)



,[0,]，cossin，设OM=(cos,sin)，ON=(1,cos

sin)

2

所以OM

=1，如图可知ON，设=MON





所以SOMON=OMONcosONcos

其中[0,



2

)，cos

， 所以当ON

=0时，Smax由图像易得Smin1

解法二：假设立方体三个有效面oAC,oAB,oBC分别在虚拟长方体三个面上（即公共顶点为o），虚拟长方体的相邻三棱可以无限长，长方体对角线始终垂直于底面，长方体对角线与各面夹角分别为"，"，"， 则有sin"+sin"+sin"=1

若与对角线垂直的面（即底面）与各面夹角为,,，则有+"=所以有cos+cos+cos=1

由投影面积射影定理立方体投影面积S=S1cos+S2cos+S3cos，因为S1=S2=S3=1

所以S= cos+cos+cos 所以S=cos+cos+cos+2(coscos+ coscos+ coscos) =1+2(coscos+ coscos+ coscos)≤1+2(cos+cos+cos)=3 (排序不等式) 所以S

cos= cos= cos即正方体对角线垂直于底面时取“=”号， 可求得投影为正六边形，面积S

Smax

2

2

2

222



,+"=,+"= 222

222

2222