范文网 总结报告 2012朝阳二模选择第8题:正方体投影面积|正方体的投影(全文)

2012朝阳二模选择第8题:正方体投影面积|正方体的投影(全文)

2012朝阳二模选择第8题:正方体投影面积|正方体的投影C(2012朝阳二模理)8.有一个棱长为1的正方体,按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A.1 B.C.D. CC解法一:立方体只有三个面oAC,oAB,oBC在底面投影有效,与底。

2012朝阳二模选择第8题:正方体投影面积|正方体的投影

C

(2012朝阳二模理)8.有一个棱长为1的正方体,按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是

A.

1 B.

C.

D. C

C

解法一:立方体只有三个面oAC,oAB,oBC在底面投影有效,与底面夹角分别为1、2、3,如上图:为面oAC

与投影面(以下称为底面)的夹角,为面oAC和底面的交线与oA的夹角,建空间直角坐标系如上图:

C

①,[0,

C

2

]

C



oB (0,cos(),sin()) 即(0,sin,cos)

22



oA (cos,sincos,sinsin)



oC (cos(),cossin(),sin()sin)

222

即(sin,coscos,sincos)

C

C

C

②设底面法向量(0,0,-1),

C

C

⑴面oAC与底面成角的余弦值为cos1cos

⑵设面oAB法向量x,y,z

C

令y1

ysinzcos0sin

z解得 

xcosysincoszsinsin0cos

sinxcoscos

所以面oAB与底面成角的余弦值为

C

C

C

cos2

sin

sincos

C

⑶设面oBC法向量x,y,z

C

令y1

ysinzcos0sin

解得z 

zsincosxsinycoscos0cos

cosxcossin

所以面oBC与底面成角的余弦值为

C

C

cos3

sin

sinsin

③面oAC,oAB,oBC面积均为1,设它们在底面投影分别为S1,S2,S3则立方体在底面投影面积SS1S2S3 其中S1cos1,S2cos2,S3cos3 Scos1cos2cos3

即Scossincossinsin=cossin(cossin)=(cos,sin)(1,cos

sin)



,[0,],cossin,设OM=(cos,sin),ON=(1,cos

sin)

2

所以OM

=1,如图可知ON,设=MON



所以SOMON=OMONcosONcos

其中[0,

2

),cos

, 所以当ON

=0时,Smax由图像易得Smin1

解法二:假设立方体三个有效面oAC,oAB,oBC分别在虚拟长方体三个面上(即公共顶点为o),虚拟长方体的相邻三棱可以无限长,长方体对角线始终垂直于底面,长方体对角线与各面夹角分别为",",", 则有sin"+sin"+sin"=1

若与对角线垂直的面(即底面)与各面夹角为,,,则有+"=所以有cos+cos+cos=1

由投影面积射影定理立方体投影面积S=S1cos+S2cos+S3cos,因为S1=S2=S3=1

所以S= cos+cos+cos 所以S=cos+cos+cos+2(coscos+ coscos+ coscos) =1+2(coscos+ coscos+ coscos)≤1+2(cos+cos+cos)=3 (排序不等式) 所以S

cos= cos= cos即正方体对角线垂直于底面时取“=”号, 可求得投影为正六边形,面积S

Smax

2

2

2

222



,+"=,+"= 222

222

2222

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