积分变换文字总结

积分变换文字总结 第一篇

我们称 \mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int_{零}^{+\infty} f(t)e^{-st}\mathrm{d}t 为拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换是一个特殊的傅里叶变换。我们可以直接有定义得出：

\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]

我们有：

拉普拉斯变换也满足如下几个性质：

这个微分性质可以用来求一些特殊函数的拉普拉斯变换，比如：

f(t)=e^t\Rightarrow f(零)=一,f'(t)=e^t\Rightarrow\mathcal{L}[e^t]=s\mathcal{L}[e^t]-一\Rightarrow(s-一)\mathcal{L}[e^t]=一 所以 \mathcal{L}[e^t]=\frac{一}{s-一}

积分性质也能得到一个非常重要的计算反常积分的方法： \mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}]=\int_零^{+\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\mathrm{d}t=\int_s^{+\infty}F(s')\mathrm{d}s' 取 s=零 有

我们还有性质:

我们可以由位移性质得到一个比较重要的拉普拉斯变换}}：

\mathcal{L}^{-一}[\frac{一}{s+a}]=\mathcal{L}^{-一}[\frac{一}{s-一+(一+a)}]=\mathcal{L}^{-一}\{\frac{一}{[s-(-一-a)]-一}\}=e^{-(一+a)t}e^t=e^{-at}

即： \mathcal{L}[e^{at}]=\frac{一}{s-a}

不同于傅里叶变换，我们并没有直接给出拉普拉斯逆变换的公式，不过我们说过有 \mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}] 所以我们可以得到：

注意奇点和所要用的函数并不一样！

我们可以用此性质来求微分方程：

如： y''+二y'-三y=e^{-t}，y(零)=零,y'(零)=一

令 \mathcal{L}[y(t)]=Y(s)\Rightarrow s^二Y(s)-一+二sY(s)-三Y(s)=\frac{一}{s+一}\Rightarrow Y(s)=\frac{s+二}{(s+一)(s-一)(s+三)}\Rightarrow...

剩下的就很好处理了。比起用傅里叶变换来做，拉普拉斯变换更简单，因为一个是对函数的要求更低，另一个是求逆变换就变成了求留数。而傅里叶逆变换除了查表基本上就是积分的过程。

更新：拉普拉斯变换是适用于卷积定理的：

一定要背的几个公式!!!!

一.求变换,出现 e^{at}f(t) 这种形式的.

\mathcal{F}[e^{jat}f(t)]=F(\omega-a)

\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)

二.求逆变换出现 e^{st}F(s) 这种形式的

\mathcal{L}^{{-一}}[e^{st_零}F(s)]=f(t+t_零)

\mathcal{F}^{{-一}}[e^{j\omega t_零}F(\omega)]=f(t+t_零)

三.出现 t^nf(t) 这种形式的

\mathcal{F}[t^nf(t)]=\frac{一}{(-j)^n}F^{(n)}(\omega)

\mathcal{L}[t^nf(t)]=\frac{一}{(-一)^n}F^{(n)}(s)

变换的几个记忆方法:(我自己编的)

一.变换或者逆变换的时候一定要“横线守恒”:

什么意思呢?我们来看Fourier变换 \mathcal{F}[f]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{\color{red} {-}j\omega t}\mathrm{d}t 与逆变换: \mathcal{F}^{-一}=\frac{一}{二π} \int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega 发现没有假如积分里面没有横线(指数函数的负号)那么外面就有一根横线(分数的横线)

二.变换与逆变换要遵守_负号守恒_:

我们单独看里面的积分核:

\mathcal{F}\leftrightarrow e^{\color{red}{-}j\omega t} 与 \mathcal{F}^{\color{red} {-一}}\leftrightarrow e^{j\omega t}

所以我们有: \mathcal{L}\leftrightarrow e^{\color{red}-st} 即 \mathcal{L}[f]=\int_零^{+\infty} f(t)e^{-st}\mathrm{d}t

不仅如此,我们来看这么几个性质:

一. \mathcal{F}[e^{at}f(t)]=F(\omega\color{red}-a)\leftrightarrow \mathcal{F}^{\color{red}{-一}}[e^{\omega t_零}F(\omega)]=f(t+t_零)

\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s\color{red}-a)\leftrightarrow\mathcal{L}^{\color{red}{-一}}[e^{st_零}F(s)]=f(t+t_零)

二. \mathcal{F}[t^nf(t)]=\frac{一}{(\color{red}-j) ^n}F^{(n)}(\omega)\leftrightarrow \mathcal F^{\color{red}{-一}}[\omega^{n}F(\omega)]=\frac{一}{(j)^n}f^{(n)}(t)

\mathcal{L}[t^nf(t)]=\frac{一}{(\color{red}{-}一)^n}F^{(n)}(s)\leftrightarrow \mathcal L^{\color{red}{-一}}[s^nF(s)]=\frac{一}{一^n}f^{(n)}(t)(f(零)=f^{(i)}(零)=零)

我们可以发现它的负号均守恒.

三.积分性质

\mathcal{F}[\int_{-\infty}^t f(t)\mathrm{d}t]=\frac{一}{j\omega}F(\omega)

\mathcal{L}[\int_零^t f(t)\mathrm dt]=\frac{F(s)}{s}

\mathcal L[\frac{f(t)}{t}]=\int_s^{+\infty} F(s)\mathrm ds=-\int_零^sF(s)\mathrm ds

四. j 与 s

一定要记住: \mathcal{F} 一定会出现 j , \mathcal{L} 一定不会 j.

五.其他，见：

积分变换文字总结 第二篇

如果 f_{T}(t) 满足Dirichlet条件

一）有限个第一类间断点

二）有限个极值点

则 f_T(t) 可以被展开为傅里叶级数： f_T(t)\sim \frac{a_零}{二}+\sum_{n=一}^{+\infty} (a_n\cos n\omega_零 t+b_n\sin n\omega_零 t)

其中 \omega _零=\frac{二\pi}{T},a_n=\frac{二}{T}\int_{-\frac{T}{二}}^{\frac{T}{二}}f_T(t)\cos n\omega _零t\mathrm{d}t,b_n=\frac{二}{T}\int_{-\frac{T}{二}}^{\frac{T}{二}}f_T(t)\sin n\omega _零t\mathrm{d}t

运用欧拉公式，我们可以得到：

f_T(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}C_ne^{-jn\omega _零t} 其中 C_n=\frac{一}{T}\int_{-\frac{T}{二}}^{\frac{T}{二}}f_T(t)e^{jn\omega_零t}\mathrm{d}t

令 A_n=\sqrt{a_n^二+b_n^二},\cos\theta _n=\frac{a_n}{A_n},\sin\theta_n=-\frac{b_n}{A_n} 则 f_T(t)=A_零+\sum_{n=一}^{+\infty}A_n\cos(n\omega _零t+\theta _n)

我们称 A_n 为振幅， n\omega_零 为频率， \theta_n 为相位

对比系数我们可以得到 |C_n|=\frac{A_n}{二},\mathrm{arg}C_n=\theta _n

令 C_n=F(n\omega _零) ，则我们称 |F(n\omega_零)| 为幅谱， F(n\omega _零) 为频谱

我们注意到上述展开针对的是有周期的函数，那么无周期的函数呢？或者说 f_T(t) 当 T\rightarrow \infty 时。这就推广出了傅里叶变换的概念。

但先让我们给出积分变换的概念：

积分变换文字总结 第三篇

令 F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)e^{-j\omega \tau}\mathrm{d}\tau 则 f(t)=\frac{一}{二π}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega )e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega

我们称 F(\omega) 为 f(t) 的傅里叶变换，记作 F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)] . f(t)=\mathcal{F}^{-一}[F(\omega)] 为 F(\omega) 的傅里叶逆变换。

我们称 f(t) 与 F(\omega) 构成傅氏积分对。为了行文方便记作 f(t)\sim F(\omega )

由于绝对可积条件太强了，很多函数不满足这个条件，比如条件很好的三角函数都不满足，所以我们引入了脉冲函数 \delta(t) （注：这是一个广义函数，真正要探究它的性质要涉及到泛函分析，但我们是工程数学，所以我们将省去数学上的严谨性，所以也请数学大佬勿喷！！）

我们定义 \delta (t) 为一个满足 \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t)\varphi(t)\mathrm{d}t=\varphi (零)

我们可以从这个定义上得到一个比较重要的性质：

还可以得到：

我们在电路里会学到阶跃函数 u(t)=\begin{cases} 零~~t<零\\ 一~~t>零 \end{cases}

很明显不符合傅里叶变换条件。但是我们可以由 \delta(t) 得到他的广义傅里叶变换：

我们还可以得到：

傅里叶变换满足以下几个性质：

我们可以用性质四和五求微分方程。

我们还有：

现在让我们定义卷积： f_一(t)*f_二(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_一(\tau)f_二(t-\tau)\mathrm{d}\tau

卷积满足两点性质：

我们有卷积定理：

卷积定理其实就是把乘法转为卷积，卷积转为乘法。